Question

[高数]极限与无穷级数1,1/2 lim [2+(-1)^n]开N方,n→∞ 为...

[高数]极限与无穷级数 1,1/2 lim [2+(-1)^n]开N方,n→∞ 为何极限为1/2?若N为偶则应该是3开N方,若是奇则是1开N方.3开N方的极限是1? 2,判定级数∑[根号（n+1）]*[1-cos(∏/n)]收敛性 为什么在解答第一步有lim[n^(3/2)]*[Un] ,n→∞这里的n^(3/2)是怎么来的?为什么突然出现这个? 3,在证明绝对收敛与收敛的关系时,令Vn=1/2(Un+ I Un I ),显然,Vn≥0 且Vn≤I Un I ,这Vn≥0且Vn≤I Un I是怎么来的? π^2/2×1/n^2与1/n^(3/2)为什么同阶？n→∞ 前者为0，后者为无穷 另外关于调和级数，S2n-Sn=1/2为什么不说它收敛于1/2而说发散？

Answer 1

1、3开n方的极限就是1!此题可以使用夹逼准则：1≤2＋(-1)^n≤3,所以1≤[2＋(-1)^n]^(1/n)≤3^(1/n)
n→∞时,3^(1/n)→1,所以[2＋(-1)^n]^(1/n)→1,从而原极限是1/2
2、n→∞时,1－cos(π/n)等价于1/2×(π/n)^2＝π^2/2×1/n^2,所以
√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)同阶,使用比较判别法时,与1/n^(3/2)比较即可
3、若Un≥0,则Vn＝un≥0,若Un＜0,则Vn＝0,所以Vn≥0
因为Un≤|Un|,所以Vn≤1/2×2|Un|＝Un
综上,0≤Vn≤|Un|－－－－－－－－－－9.6补充：1、π^2/2×1/n^2与1/n^(3/2)为什么同阶?何来这个结论?说的是√(n+1)×[1－cos(π/n)]与1/n^(3/2)同阶.因为√(n+1)×[1-cos(∏/n)]等价于√(n+1)×π^2/2×1/n^2＝π^2/2×√(n+1)/√n×1/n^(3/2),前面部分的极限是非零常数π^2/2,所以它与1/n^(3/2)同阶,也就是说当√(n+1)×[1-cos(∏/n)]与1/n^(3/2)使用比较法的极限形式时,结果是π^2/22、关于调和级数,S2n－Sn＝1/2
应该是：S2n－Sn
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1/2