Question

已知圆O以原点为圆心，且与直线5x-12y+26=0相切．（1）求圆O的方程；（...

已知圆O以原点为圆心，且与直线5x-12y+26=0相切． （1）求圆O的方程； （2）若直线l过点（1，2），且被圆O截得的弦长为23，求直线l的方程； （3）由圆O上任意一点M向x轴作垂线，垂足为N，P是直线MN上一点且满足|NP|=2|PM|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）圆心到直线5x-12y+26=0的距离d=2613=2，
∴圆O的方程为x2+y2=4；
（2）∵直线l被圆O截得的弦长为23，
∴圆心到直线l的距离为4-3=1，
∵直线l过点（1，2），
∴斜率不存在时，直线l的方程x=1满足；
斜率存在时，设直线的方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴圆心到直线l的距离|-k+2|k2+1=1，
∴k=34，
∴直线l的方程为3x-4y-5=0，
综上所述，直线l的方程为x=1或3x-4y-5=0；
（3）设P（x，y），M（x，y′），N（x，0），则
①NP=2PM，可得（0，y）=2（x，y′-y），∴y′=32y，
∵M在圆上，
∴x2+94y2=4；
②NP=-2PM，可得（0，y）=-2（x，y′-y），∴y′=12y，
∵M在圆上，
∴x2+14y2=4．