Question

求解一道关于几何的数学题

如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1,D是CC1的中点,F是A1B的中点 求证:(1)DF//平面ABC(2)AF⊥BD

Answer 1

解：（1）取A1A的中点E，连接EF、DE
因为F是A1B的中点
故：EF//AB
因为正三棱柱ABC—A1B1C1
故：平面A1ACC1是矩形
因为D是CC1的中点
不难证明DE//AC
因为AB∩AC=A，DE∩EF=E
故：平面DEF//平面ABC
因为DF包含于平面DEF
故：DF//平面ABC
（2）因为正三棱柱ABC—A1B1C1，AB=AA1
故：A1ABB1是正方形，AA1=AB=A1C1=BC（即：正三棱柱ABC—A1B1C1所有棱长都相等）
因为F是A1B的中点（即：正方形A1ABB1对角线的交点）
故：AF⊥A1B
连接A1D，设AA1=AB=A1C1=BC=a
因为C1D=CD=a/2，A1C1=BC=a，∠A1C1D=∠BCD=90度
故：A1D=BD
利用勾股定理，不难证明：AF⊥DF
故：AF⊥平面A1DB
故：AF⊥BD