Question

1/x^2的泰勒展开式

求函数1/x^2在x0=1 求泰勒展开式 和收敛半径 在的老师
求函数1/x^2在x0=1 求泰勒展开式 和收敛半径

Answer 1

f(x)=1/x^2

f'(x)=-2/x^3

f"(x)=3!/x^4

f^n(x)=(-1)^n* (n+1)!/x^(n+2)

f^n(1)=(-1)^n (n+1)!

f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)/1!+f"(1)(x-1)^2/2!+.

=1-2(x-1)+3(x-1)^2-4(x-1)^3+. +(-1)^n*(n+1)(x-1)^n+..

历史发展

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。

泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。

Answer 2

f(x)=1/x^2
f'(x)=-2/x^3
f"(x)=3!/x^4
f^n(x)=(-1)^n* (n+1)!/x^(n+2)
f^n(1)=(-1)^n (n+1)!
f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)/1!+f"(1)(x-1)^2/2!+.
=1-2(x-1)+3(x-1)^2-4(x-1)^3+. +(-1)^n*(n+1)(x-1)^n+..
收敛半径为0