数学高手进数学函数问题
函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8在区间(-∞,0)上单调递增,求a的取值范围...
函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8在区间(-∞,0)上单调递增,求a的取值范围
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对f(x)求导
y=f'(x)=9x^2-6(a+1)x+6a
要是f(x)在(-∞,0)上为增函数,需要y在(-∞,0)上始终大于零
函数y(x)的二次项为9>0,所以,开口向上
对y配方,有:y=9[x-(a+1)/3]^2+6a-(a+1)^2
分情况进行讨论:
1、当对称轴x=(a+1)/3<0时,需要最小值y=6a-(a+1)^2>0
推出a<-1,且2-√3<a<2+√3,得到a属于空集
2、对称轴x=(a+1)/3>=0时,函数y(x)与y轴交点的纵坐标y=6a>0
推出a>0
综述,a的取值范围为a>0
y=f'(x)=9x^2-6(a+1)x+6a
要是f(x)在(-∞,0)上为增函数,需要y在(-∞,0)上始终大于零
函数y(x)的二次项为9>0,所以,开口向上
对y配方,有:y=9[x-(a+1)/3]^2+6a-(a+1)^2
分情况进行讨论:
1、当对称轴x=(a+1)/3<0时,需要最小值y=6a-(a+1)^2>0
推出a<-1,且2-√3<a<2+√3,得到a属于空集
2、对称轴x=(a+1)/3>=0时,函数y(x)与y轴交点的纵坐标y=6a>0
推出a>0
综述,a的取值范围为a>0
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解:
本题即:F′(x)=6x²-6(a+1)x+6a>0在区间(-∞,0)成立
可能一:函数与x轴无交点,则:
Δ=(6(a+1))²-4*6a*6a<0
得a>1或a<-1/3
可能二:函数与x轴的交点都在y轴右侧,则:
F′(x)=6(x-a)(x-1) 得a>0
符合任一条件都成立
故a>0或a<-1/3
本题即:F′(x)=6x²-6(a+1)x+6a>0在区间(-∞,0)成立
可能一:函数与x轴无交点,则:
Δ=(6(a+1))²-4*6a*6a<0
得a>1或a<-1/3
可能二:函数与x轴的交点都在y轴右侧,则:
F′(x)=6(x-a)(x-1) 得a>0
符合任一条件都成立
故a>0或a<-1/3
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