Question

已知函数,.当时,求函数的单调区间;若在上单调递减,求实数的取值范围.

已知函数,. 当时,求函数的单调区间; 若在上单调递减,求实数的取值范围.

Answer 1

把代入,解不等式,即可;
在上单调递减,即在上恒成立,对进行分类讨论即可解出的取值范围.
解:时,,定义域为.
).
由得或,由,得,
的单调递增区间为,,单调递减区间为.
.
令.
当时,,在内,,
函数在上单调递减.
当时,是二次函数,其对称轴为,
当且仅当,即时,,此时无解.
当时,是二次函数,
当且仅当即.时,,
此时函数在上单调递减.
综上,实数的取值范围是.
本题考查导数与函数单调性的关系,对可导函数来说,(不总为)是在某区间上单调递减的充要条件.