Question

计算二重积分，∫∫(x+y)dxdy,其中D为x^2+y^2≤x+y

Answer 1

本题区域关于x轴对称，y关于y是一个奇函数，因此积分为0，所以被积函数中的y可去掉。

∫∫（x+y）dxdy

=∫∫xdxdy

用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ

=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr

=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr

=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ

=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ

=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]

=(4/3)(3/2)*(π/2)

=π

二重积分的意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

这题的积分区域---圆域的圆心为(1/2,1/2)，半径为(√2)/2
因为圆心非原点，所以无论用直角坐标还是极坐标，上下限都不好确定。所以应想到把圆域平移到原点处，即用坐标变换。
但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式，一般来说比较麻烦，而此题只是平移，不涉及旋转，变形之类得，所以可省去雅克比的过程。
令x=(1/2)+u，y=(1/2)+v,则积分圆域变为以(0,0)为圆心，以(√2)/2为半径。
而原积分=∫∫(1+u+z)dudv
因为，变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称，
且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数
所以，∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2
(但注意，平移的时候能像这样代入，因为雅克比行列式等于1，其他变换还要乘以雅克比行列式。)