Question

f(0)=0,f(1)=1f'(0)=f''(1)=0

已知f(0)=0, f(1)=1,f'(0)=f'(1)=0,求证|f''(x)|>4
|f''(x)|>4, x属于(0,1),f(x)在[0,1]上连续且二阶可导
存在|f''(x)|>4, x属于(0,1)
题目还有个hint：consider h(x)=f(x)-2x^2 on the interval [0,0.5], and then repeat the argument with g(x)=1-f(1-x) in place of f(x)

Answer 1

泰勒公式
f﹙x﹚ 展开 f﹙x﹚＝f﹙0﹚＋f＇﹙0﹚x＋﹙1/2﹚f＇＇﹙ζ﹚x²
f﹙x﹚＝f﹙1﹚＋f＇﹙1﹚x＋﹙1/2﹚f＇＇﹙η﹚﹙x－1﹚²
相减 并以1/2代入x
得 1＝﹙1/8﹚｜[f＇＇﹙ζ﹚－f＇＇﹙η﹚]｜≤﹙1/8﹚﹛｜f＇＇﹙ζ﹚｜＋｜f＇＇﹙η﹚｜﹜ ｜ f＇＇﹙ζ﹚｜和｜f＇＇﹙η﹚｜中较大一个一定大于4
而 ζ和η都属于﹙0,1﹚ 命题得证