圆锥曲线问题
过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线并于点B，若FB=2FA，则此双曲线的离心率为（）...
过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线并于点B，若FB=2FA ，则此双曲线的离心率为（ ）
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2021-01-25 广告
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设F坐标(c,0),渐进线的斜率是k=b/a或-b/a.
那么FA的斜率是k'=-a/b.
FA方程是y=-a/b(x-c)
联立y=-b/a x,解得x=c+b^2/a^2,y=-b/a(c+b^2/a^2)=-bc/a+b^3/a^3
由题意得AF=AB,所以得:OF=OB
即c^2=(c+b^2/a^2)^2+(-bc/a+b^3/a^3)^2
c^2=c^2+b^4/a^4+2cb^2/a^2+b^2c^2/a^2-2b^4c/a^4+b^6/a^6
化简:0=b^2/a^4+2c/a^2+c^2/a^2-2b^2/a^4+b^4/a^6
0=-a^2b^2+2a^4c+a^4c^2+b^4
b^2=a^2-c^2
联立解得即可
那么FA的斜率是k'=-a/b.
FA方程是y=-a/b(x-c)
联立y=-b/a x,解得x=c+b^2/a^2,y=-b/a(c+b^2/a^2)=-bc/a+b^3/a^3
由题意得AF=AB,所以得:OF=OB
即c^2=(c+b^2/a^2)^2+(-bc/a+b^3/a^3)^2
c^2=c^2+b^4/a^4+2cb^2/a^2+b^2c^2/a^2-2b^4c/a^4+b^6/a^6
化简:0=b^2/a^4+2c/a^2+c^2/a^2-2b^2/a^4+b^4/a^6
0=-a^2b^2+2a^4c+a^4c^2+b^4
b^2=a^2-c^2
联立解得即可
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