Question

设函数f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c在x=1及x=2取得极值（1）f(x)增区间（2)若对x属[0,3】都有f(x)＜c^成立，

求c的范围

Answer 1

f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c，
求导f(x)'=6x^2+6ax+3b,
又,在x=1与x=2取到极值，
故f(x)'=k(x-1)(x-2)=6x^2+6ax+3b,
得到 kx^2-3kx+2k=6x^2+6ax+3b,
比较系数，得：k=6,-3k=6a,2k=3b
故，a=-3,b=4.
所以f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c——（1）
f(x)’=6x^2-18x+12>0,6(x-1)(x-2)>0
解得x<1,x>2;
即(负无穷，1)U(2，正无穷)是增区间。

若对x属（0,3）都有f(x)＜c^成立，估计是c^2

根据题意x属(0,3)都有f(x)＜c^2成立
所以，2x^3-9x^2+12x+8c-c^2<0 x属于（0,3）
求2x^3-9x^2+12x在x属于闭区间（0,3）的最大值。
设 g(x)=2x^3-9x^2+12x
有（1）式可知，x属于闭区间(1,2)，为单调减函数
g(x)在x属于（0,3）的最大值，可能在极值点，可能在端点
当x分别为0，1，2，3时，得到g(x)分别为0，5，4，9.
所以给g(x)的最大值为9 当x属于闭区间0到3
所以有8c-c^2<9,c^2-8c+9>0,(c-9)(c+1)>0
得到c<-1或c>9.

Answer 2

f‘(x)=6x^2+6ax+3b
f'(1)=6+6a+3b=0
f'(2)=24+12a+3b=0
得a=3 b=8
当x属于(-无穷，1)U(2，+无穷)函数为增函数
当x属于(1,2)函数为减函数
所以增区间为(-无穷，1)U(2，+无穷)
(2)