Question

数学高手进~~ 已知函数f（x）满足f（logx）=a/a2-1* （x-x的-1次方）（a>0,且a不=1）

1.求f（x）的解析式并判断其单调性；
2.对定义在（-1,1）上的函数f（x），若f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的取值范围；
3.当x属于（-∞，2）时，关于x的不等式f（x）-4<0恒成立，求a的取值范围。

我数学很不好，求哪位仁兄指点指点~

Answer 1

马桶诶，你好：

（1）令logaX＝t，x＞0
∴t∈R，则x＝a^t
代入得f（t）＝a×（a^t－a^－t）/（a^2－1）
将t换成x，得到表达式f（x）＝a×（a^x－a^－x）/（a^2－1），x∈R。
然后考察它的奇偶性，单调性：
令x＝－x，代入得f（－x）＝a×（a^－x－a^x）/（a^2－1）
它恰好等于－f（x）。
∴函数是奇函数。
然后看单调性，求导：
f`（x）＝a/（a^2－1）×（a^x×㏑a＋a^－x×lna）＝a/（a^2－1）×lna×（a^x＋a^－x）
当0＜a＜1，导数大于0；当a＞1，还是大于0。
∴函数是增函数。

（2）（去掉f的办法是移向，利用奇偶性，单调性去掉符号。）
注意定义域，这里是（－1，1），所以得有－1＜1－m＜1，且－1＜1－m^＜1．
然后移向，f（1－m）＜－f（1－m^2）＝f（m^2－1）
又因为是增函数，∴1－m＜m^2－1．
解这三个关于m的范围，取交集，即得解： 0＜m＜1．

（3）f（x）－4＜0，在区间（－∞，2）上恒成立
即f（x）＜4恒成立，即f（x）的最大值＜4即可。
f（x）是增函数，令x＝2，代入方程，得a×（a^2－a^－2）/（a^2－1）＜4．
（注意，其实这里的x＝2是取不到的，但可以用到不等式中，只要注意这个边界值是否可以取到即可。若可以取到，则有时候会写成≤某个值的情况，要注意）
解这个不等式，得（a^4－1）/a^2＝（a^2－1）×（a^2＋1）/a^2
分子分母约掉一个（a^2－1），最后整理得a^2－4a＋1＜0
解得－√3＋2＜a＜√3＋2
然后与a＞0且a≠1取交集，得a的范围是（－√3＋2，1）∪（1，√3＋2）。

Answer 2

你的已知条件是这个吗？