Question

高中三角数学题

在三角形ABC中，若cos²A+cos²B+cos²C=1，则三角形ABC是（ ）三角形。
（选填锐角/直角/钝角）
注：请说明原因，谢谢

Answer 1

直角

cos²B+cos²C=sin²A
cos²B+cos²C=sin²(π-C-B)=sin²(B+C)=sin²Bcos²C+cos²Bsin²C+2sinBsinCcosBcosC
cos²B(1-sin²C)+cos²C(1-sin²B)=2sinBsinCcosBcosC
2cos²Bcos²C=2sinBsinCcosBcosC
cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)=0
cosBcosCcos(B+C)=0
得到 B=90度 或 C=90度 或 B+C=90度=A
所以 三角形为直角

Answer 2

直角
倍角公式 cos2A+1+cos2B+1+2cos²C=2
和差化积 -2cosCcos(A-B)+2cos²C=0
cosC=0 or cosC=-cos（A+B）=cos(A-B)
C=90 or A+B+A-B=2A=180 即A=90