Question

请问这道题怎么解？

Answer 1

道题的答案显然是2，让我们来考虑一个更有意思的问题——

里面那一坨 \int_0^1{\left( 1+\sin \frac{\pi}{2}t \right) ^n\text{d}t} 的增长速度近似于多少

事实上有 \int_0^1{\left( 1+\sin \frac{\pi}{2}t \right) ^n\text{d}t}\sim 2^{n+1}\sqrt{\frac{1}{n\pi}}

或者用极限的形式写——

\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \sqrt{n}\int_0^1{\left( \frac{1+\sin \frac{\pi}{2}t}{2} \right) ^n\text{d}t} \right] =\frac{2}{\sqrt{\pi}}

亦——

\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \frac{\int_0^1{\left( 1+\sin \frac{\pi}{2}t \right) ^n\text{d}t}}{2^{n+1}\sqrt{\frac{1}{n\pi}}} \right] =1

为了证明这一结论，我们先介绍一个被称为拉格朗日渐近积分的定理——

然后就水到渠成了——

编辑于 2020-09-21 · 著作权归作者所有