Question

二次型经可逆线性变换后得到的矩阵与原矩阵相似吗

Answer 1

二次型经过可逆线性变换两个矩阵相似。

可逆线性变换或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换。二次型的相似矩阵，准确来说应该是合同矩阵，即要满足变换后还是对称矩阵。

可逆线性变换

亦称非退化线性变换，或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换，则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换，V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换。

Answer 2

不一定。二次型只有经过正交可逆线性变换后，才能得出矩阵相似结论。
在二次型矩阵的可逆变换中，我们经常使用的方法共有三种，分别是配方法，合同变换法，正交变换法。
经由可逆变换的矩阵一定可以得出合同结论，但是只有经过正交变换的矩阵才能得出相似结论。
相似一定可以推出合同，但是合同却不能推出相似。