Question

a,b,c∈(1,2),求(a^3+b^3+c^3)/abc最大值

Answer 1

设f(a)=(a^3+b^3+c^3)/(abc)
=[1/(bc)][a^2+(b^3+c^3)/a],
则f'(a)=[1/(bc)][2a-(b^3+c^3)/a^2]
=[1/(bc)[2a^3-(b^3+c^3)]/a^2,
记a0=[(b^3+c^3)/2]^(1/3)∈(1,2),
当1<a<a1时f'(a)<0,f(a)是减函数；当a1<a<2时f'(a)>0,f(a)是增函数。
所以f(a)的最小值=f(a1),其最大值在f(1)=(b^3+c^3)/(bc),或f(2)=(8+b^3+c^3)/(2bc)取得。
仿上，f(1)的最大值在b=1或2时取得：（1+c^3）/c-->9/2(c-->2-);
(8+c^3)/(2c)-->9/2(c-->1+);
f(2)的最大值在b=1或2时取得:(9+c^3)/(2c)-->5(c-->1+);
(16+c^3)/(4c)-->17/4(c-->1+),
比较得a-->2-,b-->1+,c-->1+时f(a)有上确界5，无最大值。