Question

什么是“无套利原理”？

Answer 1

无套利假设法则对定价给出若干法则，可以分为5个层次，有经济上和数学上的解释:\x0d\x0a\x0d\x0a经济上的解释\x0d\x0a\x0d\x0a（1）未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价；\x0d\x0a\x0d\x0a（2）组合的若干倍的当前价值应该等于该组合的当前价值的同样倍数；\x0d\x0a\x0d\x0a（3）组合的买价与卖价应该一致；\x0d\x0a\x0d\x0a（4）组合的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和；\x0d\x0a\x0d\x0a（5）未来值钱的组合，当前也值钱。\x0d\x0a\x0d\x0a数学上的解释:\x0d\x0a\x0d\x0a（1）（可定价法则）存在定价函数p:从实数域到实数域\x0d\x0a\x0d\x0a（2）（正齐次定价法则）p是正齐次函数，即对于任何正实数a和实数y，有p(ay)=ap(y)\x0d\x0a\x0d\x0a（3）（齐次定价法则）p是齐次函数，即对于任何实数a和实数y，有p(ay)=ap(y)\x0d\x0a\x0d\x0a（4）（线性定价法则）p是线性函数，即对于任何实数a，b和任何实数y,z有p(ay+bz)=ap(y)+bp(z)，此时该函数定有这种形式p(y)=ay\x0d\x0a\x0d\x0a（5）（正线性定价法则）p是正线性函数，即p是线性函数，且当y>0时，p(y)>0，此时该函数定有这种形式p(y)=ay，其中a>0\x0d\x0a\x0d\x0a更详细的解释，你可以看下宋国平写的金融学，上边第1和2章详细讨论的就是套利。

Answer 2

在一个自融资投资策略 被称为在 内存储在 套利机会 （arbitrage opportunity），如果存在 ，使得当
有
且
其中， 表示时间 发生的概率。
解释：
投资策略 是指由多个无风险资产（比如国债、存银行）和风险资产（比如股票、期权）组成的投资组合。
自融资 是指在整个交易时段中间没有资金加入或抽走。
第一个式子 可由在投资组合中加入无风险资产（由其可确定性质）构造。意义的话不太明白，可能是为了后面好表达？
第二个式子配合第一个，表示这是一个没有风险的情况，第三个式子表示有获利的可能。
整体来说，就是 在风险市场中无风险地获得收益 ，类似“白嫖”。
在“金融模型及计算-（1）”中也提到，这种白嫖行为显然是会破坏市场平衡的，类似于游戏出bug。现实中确实可能会有，但在理论中，我们假设它不存在，即“市场中不存在套利机会”。

定理2.1 若市场在时段 内是无套利的，则对于任何两个投资组合 和 ，如果
且
成立，那么对于任意 ，必有
解释：无套利情况下，若T时刻两个投资组合能确定收益大小关系，且有收益差距的可能，就能确定中间时刻的 严格 大小关系。证明思路就是用套利的定义反证。
作用：为什么要用T时刻的关系推中间时刻t呢，因为风险资产的回报是不确定的，但可能在某个固定时刻可以确定，比如期权在到期日才能确定收益。使用无套利原理就可以计算中间时刻的大小关系。

推论2.1 若在 内市场无套利，投资组合 和 有 ，那么对任意时刻 ，必有 。

证明：两次使用定理2.1，就可证明等号时的情况。
应用：定理2.1和推论2.1都可用于后续的证明，当用到不等式的时候就用定理2.1，用到等式的时候就用推论2.1。

当前我们对原生资产（股票）价格的运行没有建立任何模型，只假设市场无套利。
在此假设下，我们可以得到一些关于欧式期权和美式期权的不等式和等式：

这些不等式或等式都是仅仅由无套利原理限制的，和原生资产的价格规律没有任何关系。在证明的时候，本质上是倒向的，即有了 的期权价格，反推 的价格的相关性质。 期权定价是一个倒向问题 ，这是在整本书中都通用的规律。
然而，如果不建立原生资产价格运行的模型，对于期权定价只能定性（只有不等式约束），无法具体到某个值。因此，我们必须给出原生资产的价格模型。在下一章中，我们假设原生资产符合二叉树模型（离散的单时段双状态模型），这是一个最简单也最基础的模型，并在二叉树模型下进行期权定价的相关讨论。