Question

奇偶函数在对称区间求积分

请问这一题要怎么做呀？希望可以得到具体过程

Answer 1

解题思路：

1、定积分积分区域关于0点对称，先分离出奇函数，奇函数积分区域关于0点对称的定积分为0；偶函数的积分等于2倍0到正区间的积分。

2、剩余部分，三角函数高次幂的积分，可以适用现成公式，也可以通过分部积分法来求解。

Answer 2

=-3π/8

方法如下，
请作参考：

Answer 3

利用奇函数在对称区间的定积分为0，偶函数为其半区间积分的二倍

Answer 4

xsin²x是奇函数，(cosx)^4是偶函数。积分区间对称，∴应用定积分的性质，前者的积分为0，后者为积分区间一半的2倍。
∴原式=-2∫(0,π/2)(cosx)^4dx。由华里士公式，有∫(0,π/2)(cosx)^4dx=(3/4)*(1/2)*(π/2)。
∴原式=-3π/8。
或者，(cosx)^4=(1/4)(2cos²x)²=(1/4)(1+cos2x)²=…=(1/4)[3/2+2cos2x+(1/2)cos4x]。亦可求解。

Answer 5

x(sinx)^2 是奇函数，在对称区间积分为 0.
(cosx)^4 是偶函数
I = ∫<-π/2, π/2>[x(sinx)^2-(cosx)^4]dx = -∫<-π/2, π/2>(cosx)^4dx
= -2∫<0, π/2>(cosx)^4dx = -(1/2)∫<0, π/2>(1+cos2x)^2dx
= -(1/2)∫<0, π/2>[1+2cos2x+(cos2x)^2]dx
= -(1/2)∫<0, π/2>[3/2+2cos2x+(1/2)cos4x]dx
= -(1/2)[3x/2+sin2x+(1/8)sin4x]<0, π/2> = -3π/8