Question

【求过程】如图，分别以直角三角形三条边为直径画半圆，得到阴影部分的面积和为42，求该直角三角形的面积

【答案是42，求解题过程！】【答案是42，求解题过程！】【答案是42，求解题过程！】

Answer 1

在斜边下方画个半圆，这样的话，面积关系就很清楚了。

情况下面，点击放大：

Answer 2

阴影=中圆+小圆+三角形-大圆，三角形=42+大圆-小圆-中圆
按照直角三角形边长原理可知，大圆面积=中圆+小圆，所以三角形面积=42。

Answer 3

第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。
第二步，设直角三角形短直角边、长直角边、斜边分别是a、b、c，对应的三个半圆分别是A、B、C。如果将整个图形看成由直角三角形和两个直角边为半径的半圆构成，总面积=半圆A+半圆B+直角三角形；如果将整个图形看成由半圆C和两个阴影部分构成，总面积=阴影1+阴影2+半圆C。
第三步，两式联立可知直角三角形的面积=阴影1+阴影2+半圆C－半圆A－半圆B=42+π/2×（c/2）²－π/2×（a/2）²－π/2×（b/2）²=42＋π/8×（c²－a²－b²），由于在直角三角形中c²=a²+b²，可知所求直角三角形面积与阴影部分面积相等，即42。

Answer 4

解：∵两个月形面积=（半圆ADB—弓形ANB）+（半圆AEC—弓形AMC）

而弓形ANB+弓形AMC=S半圆BAC—S△BAC

∴两个月形面积=（半圆ADB+半圆AEC）—（弓形ANB+弓形AMC）

   =(π/4 ×AB^2+π/4 ×AC^2)—（S半圆BAC—S△BAC）

  =(π/4 ×AB^2+π/4 ×AC^2)—（π/4 ×BC^2—S△BAC）

  =π/4 (AB^2+AC^2)—π/4 ×BC^2+S△BAC

  =π/4(AB^2+AC^2—BC^2)+S△BAC

  =π/4×0+S△BAC

 =S△BAC

所以，两个月牙形面积等于直角△ABC面积

当两个月牙形阴影面积和为42时，该直角三角形的面积也为42。

Answer 5

如图，设直角形三边为a,b,c，每小块面积分别为S1,S2,S3,S4,S5，三个半圆面积分别为π(a/2)²，π(b/2)²，π(c/2)²，根据勾股定理，a²+b²=c²，所以π(a/2)²+π(b/2)²=π/4*(a²+b²)=π/4*c²=π(c/2)²，得出两个小半圆面积和等于大半圆面积，即S2+S3+S4+S5=S1+S2+S4，得S3+S5=S1，S1是直角三角形面积，S3+S5是阴影部分面积和=42，所以直角三角形面积为42

题目的图