Question

解矩阵方程 AX=2X+A.其中A=1 -1 0,0 1 -1,-1 0 1

Answer 1

AX=2X+A,
即(A-2E)X=A,
所以X=A*(A-2E)^(-1),
而A-2E=
-1 -1 0
0 -1 -1
-1 0 -1
用初等行变换来求(A-2E)^(-1)
(A-2E,E)=
-1 -1 0 1 0 0
0 -1 -1 0 1 0
-1 0 -1 0 0 1 第2行减第1行
-1 -1 0 1 0 0
1 0 -1 -1 1 0
-1 0 -1 0 0 1 第2行减第3行
-1 -1 0 1 0 0
2 0 0 -1 1 -1
-1 0 -1 0 0 1 第2行除以2
-1 -1 0 1 0 0
1 0 0 -1/2 1/2 -1/2
-1 0 -1 0 0 1 第1行加第2行,第3行加第2行
0 -1 0 1/2 1/2 -1/2
1 0 0 -1/2 1/2 -1/2
0 0 -1 -1/2 1/2 1/2 第1行乘以-1,第3行乘以-1,第1行和第2行对调
1 0 0 -1/2 1/2 -1/2
0 1 0 -1/2 -1/2 1/2
0 0 1 1/2 -1/2 -1/2
所以(A-2E)^(-1)=
-1/2 1/2 -1/2
-1/2 -1/2 1/2
1/2 -1/2 -1/2
那么
X=A*(A-2E)^(-1)=
0 1 -1
-1 0 1
1 -1 0