Question

间断点怎么求

Answer 1

可去间断点即左极限=右极限=有限值,与此点取值、有无定义均无关,可以通过重新定义让其连续的点.
分母为0的“有限点”（不算x→∞）都有可能是可去间断点,所以拿出来依次讨论.x=0、x=-1和x=1
(1)当x→0时,因为涉及到|x|,所以有必要分两边进行讨论
当x→0+时,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(xlnx)
因为0^0=1,所以分子在x→0+时是趋近于0的；对于分母,xlnx=lnx/(1/x),应用L'Hospital法则便知在x→0+时也是趋近于0的.
故,分子分母满足0/0型的L'hospital法则,lim(x^x-1)/(xlnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(lnx+1)=lim(x^x)=1
当x→0-时,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]
同理,分子分母满足0/0型的L'hospital法则,lim[(-x)^x-1]/[xln(-x)]=lim[(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+1]=lim[(-x)^x]=1
综上,当x→0时,左极限=右极限=1,故,x=0是可去间断点.
(2)当x→-1时,limf(x)=lim[(-x)^x-1]/[x(x+1)ln(-x)]=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]
情况类似于x→0,分子1-(-x)^x→0；分母(x+1)ln(-x)满足∞/∞的L'Hospital法则,其极限为0.
所以,总体上满足0/0型的L'Hospital法则,
limf(x)=lim[1-(-x)^x]/[(x+1)ln(-x)]=lim[-(-x)^x][ln(-x)+1]/[ln(-x)+(x+1)/x]→∞
其中,x→-1+时为+∞,x→-1-时为-∞,这是无穷间断点,不满足要求.舍去.
(3)当x→1时,limf(x)=lim(x^x-1)/[x(x+1)lnx]=lim(x^x-1)/(2lnx)
分子分母满足0/0型的L'Hospital法则,有
lim(x^x-1)/(2lnx)=lim(x^x)(lnx+1)/(2/x)=1/2,故x=1也是可去间断点.
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