Question

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征

Answer 1

求随机变量的数字特征，需要用到高等数学中积分和级数收敛的定义。

离散型随机变量数学期望（均值）的定义 ：
注意，该级数需要绝对收敛

连续型随机变量的数学期望 ：

数学期望的物理含义：质心。

常用离散随机变量的数学期望 ：
两点分布 ；二项分布 ；泊松分布

常用连续型随机变量的数学期望 ：
均匀分布： ；指数分布 ；正态分布

直观解释：

数学期望的性质定理 ：

严格意义上常数 不具有随机性，从而不是随机变量。但在概率论中，称它为服从 参数为c的退化分布 ，分布律为 。

性质(2)、(3)、(4)可推广至多维随机变量的情形：

方差和标准差刻画随机变量分布的稳定性或者波动程度。

方差和标准差的定义：

实际计算方差时，更多采用下列公式：

常用分布的方差:
泊松分布的方差:

均匀分布的方差：

指数分布的方差：

正态分布的方差：

性质(2)、(3)、(4)可以推广至多个随机变量的情形。

二项分布 的方差：

中心化随机变量 和 标准化随机变量 ：

随机变量 和 的协方差：

实际中常用计算公式：

协方差反映了 和 之间 协同变化 的关系。
协方差大=>X和Y均有同时大于或同时小于各自平均值的趋势；协方差小=> X趋向大于平均值时另一个有小于其平均值的趋势。
当 就是 时，协方差即为方差。这就是我们称其为协方差的原因。

由协方差的定义，可以将方差的性质(3)表示为：

协方差的性质：

协方差考察了随机变量之间协同变化的关系，但在使用中存在量纲的问题。为了避免这样的情形发生，将随机变量标准化， ， ，再求协方差 ，这就是随机变量X和Y的 相关系数 ，又称 标准化协方差 。

相关系数的定义 ：

二维正态分布的参数 恰好是 和 的相关系数。

随机变量（线性）无关 的定义：

相关系数的性质 ：

完全线性相关 的定义：

相互独立与线性无关、线性相关之间的关系 :

若服从二维正态分布，则X与Y相互独立等价于X与Y不相关

这一节介绍其他常用的数字特征，包括矩、变异系数、分位数及中位数等。

k阶矩的定义 :
原点矩、中心矩、联合原点矩、联合中心距

期望 是一阶原点矩，方差 是二阶中心矩，协方差是(1,1)阶联合中心距

引入多维随机变量数字特征的向量形式，得到n维随机向量的协方差矩阵：

由于方差、标准差受量纲的影响，所以在实际工作中常用 变异系数 这个数字特征。变异系数无量纲，反映随机变量在单位均值上的波动程度。
变异系数 的定义：

p分位数的定义 ：

连续型变量的分位数 定义：

众数的定义 ：