Question

十四、圆锥曲线中直线过定点问题

Answer 1

定值、定点、最值是圆锥曲线中三大专题。

证明直线是否过定点，通常采用的方法是：设这条直线的方程为y=kx+m，这种设法需要讨论这条直线是否与x轴垂直。

然后，根据题意寻找参数k与m的关系式，再把这个关系式带入直线方程，消去其中一个参数，求出定点。

当然，也有可能根据题意，直接求出参数m的值。

有的时候，也可以设直线的方程为x=my+t，这种设法需要讨论这条直线是否与x轴平行或者重合。（如果不太清楚直线的设法，可以看之前的文章）

然后，根据题意寻找参数m与t的关系式，再把这个关系式带入直线方程，消去其中一个参数，求出定点。

当然，也有可能根据题意，直接求出参数t的值。

至于用哪一种设法，视情况而定。

比如例2，设y=kx+m，需要计算直线与x轴垂直的情况；而直线显然不与x轴平行或重合，故设x=my+t，直接说明即可，不用计算。

所以，我一开始选择了x=my+t这种设法，但没想到，后面计算量反而比y=kx+m这种设法大。

有些题目，需要尝试后，才知道哪种设法计算量相对小点。

对于直线AB过定点的问题，如果能猜出定点H，然后验证HA与HB的斜率相等，这种方法也可以，但通常定点不容易猜出。