证明数列想Xn收敛的充要条件是X2k与X2k+1分别收敛于同一极限？
1个回答
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首先如果Xn->x成立，则显然根据极限定义，X(2k), X(2k+1)都趋于x
现在假设X(2k), X(2k+1)都趋于x
则根据定义对于任意正数e，存在N1, 当k>N1时，|X(2k）-x|<e
存在N2, 当k>N2时，|X(2k+1）-x|<e
所以取N=max(N1,N2)，有当n>2N+1时，有|X(n)-x|<e
所以极限收敛于x，得证
现在假设X(2k), X(2k+1)都趋于x
则根据定义对于任意正数e，存在N1, 当k>N1时，|X(2k）-x|<e
存在N2, 当k>N2时，|X(2k+1）-x|<e
所以取N=max(N1,N2)，有当n>2N+1时，有|X(n)-x|<e
所以极限收敛于x，得证
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