Question

设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n

Answer 1

设A,B的秩为r1,r2,
AB=0 说明 B的列向量都是AX=0的解
而AX=0的解,最多有n-r1个线性无关的相向
所以n-r1>=r2
再对AB=0两边取转置,得到 B'A'=0
和前面相似讨论,得到 n-r2>=r1
两个不等式相加有 整理得到 n>=r1+r2
所以命题成立