如何用面面垂直证明线面垂直
2022-12-08 · 百度认证:IT168官方账号,优质数码领域创作者
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。
求证:OP⊥β。
证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°,即OP⊥OQ
∵OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β
∴OP⊥β
扩展资料:
性质定理:
性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。
推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)
由性质定理2可知,过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
1、点在平面外:
设点P是平面α外的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①在α内任意作一条直线l,并过P作PA⊥l,垂足为A。
此时,若PA⊥α,则所需PQ已作出;若不是这样,
②在α内过A作m⊥l。
③过P作PQ⊥m,垂足为Q,则PQ是所求直线。
证明:
由作法可知,l⊥PA,l⊥QA
∵PA∩QA=A
∴l⊥平面PQA
∴PQ⊥l
又∵PQ⊥m,且m∩l=A,m⊂α,l⊂α
∴PQ⊥α
2、点在平面内:
设点P是平面α内的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①过平面外一点A作AB⊥α,作法见上。
②过P作PQ∥AB,PQ是所求直线。
证明:
由性质定理3可知,若作出了AB⊥α,PQ∥AB,那_PQ⊥α。
参考资料来源: