Question

如何利用裂项相消法解题？

Answer 1

1. 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

2. 1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

3. 1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

4. 1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

5. n·n!=(n+1)!-n! 
   

例子：

具体做法：

裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的情势，裂项后消去中间的部份，到达求和目的1种数列求和方法。先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。

举个最简单的例子，某1数列的通项公式an=1/[n(n+1)]，求其前n项和Sn。其实视察可知an=1/[n(n+1)]=1/n⑴/(n+1)，实则上1项的减数等于下1项的被减数，所以二者相加就抵消掉了。因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数，即Sn=1/2⑴/(n+1)。这就是所谓的裂项相消法。

另外还有很多例子，比如分母是连续奇数或连续偶数相乘，或是阶乘，份子是个常数（常常是1）的，都可以采取裂项相消法求解Sn。裂项相消法能到达化繁为简的效果。求Sn前先视察通项公式，如果符合这样特点的就能够用裂项相消法了。