Question

已知a>0,函数f(x)=x|x-a|+1,x属于R 1.当a属于(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间1，2上的最小值

2.试讨论函数y=f(x)的图像与直线y=a的焦点个数

Answer 1

1、（1）、当x≥a，即当0<a≤x时，有f(x)=x^2-ax+1=(x-a/2)^2-a^2/4+1
此时函数对称轴为x=a/2≤x/2≤2/2=1，函数定义域为【1,2】
故图象在对称轴右侧且开口向上，为单调增
最小值为f(1)=1-a+1=2-a，最大值为f（2）=4-2a+1=5-2a
（2）、当x＜a,即x<a<2，有f(x)=-x^2+ax+1=-(x-a/2)^2+a^2/4+1
对称轴为x=a/2, a/2<1，函数在定义域【1,2】开口向下,单调减
可知最小值一定为f(2)=-4+2a+1=2a-3，最大值f（1）=2-a
（3）当2<a<3时，x<a有f(x)=-x^2+ax+1=-(x-a/2)^2+a^2/4+1
对称轴为x=a/2, 1<a/2<1.5，函数图象在定义域【1,2】偏左，且开口向下
可知最小值一定为f(2)=-4+2a+1=2a-3，且f（1）=2-a，最大值f（a/2）=a^2/4+1
2、及时讨论f（x）与y=a两条曲线的交点个数
（1）当a∈（0,1)时，f（x）=x^2-ax+1，最小值2-a>1>a，此时无解
（2）当a∈[1,x]时，f（x）=x^2-ax+1，最小值2-a<1<a,最大值为5-2a≥1（∵a≤x≤2）
所以2-a<a≤5-2a,介于f（x）最大最小值之间，且f（x）单调，所以只有一个解
（3）当a∈（x,2]时，f(x)=-x^2+ax+1，∵1≤x<a，最大值2-a<a，此时无解
（4）当a∈（2,3)时，f(x)=-x^2+ax+1，因为a<2,所以最小值2a-3<a，且f（1）=2-a<a
最大值f（a/2）=a^2/4+1，∵a^2/4+1-a=(a/2-1)^2>0，∴f（a/2）>a
因此y=a介于最大最小值之间，且f（1）<a，所以此时有两个解。