Question

极限等于什么？

Answer 1

答案是：－∞。

分析：

(∞-∞)属不定式，一般将它化为0/0型、或∞/∞型来求极限，但本题没法化，于是用具体数据推理，取x＝10^2、10^3、10^4、10^5 ··· ，得到x→∞时，极限为(lnx－x)＝－∞。

解题方法：

法一：

本题也算是众多∞-∞型题里比较经典的一个，尤其是第三步用平方差公式再用等价无穷小替换的巧妙使得计算量大大缩减，其实本也可以使用洛必达法则一直洛下去。

法二：

这种方法并不推荐使用，为什么，从命题人的出发角度，他出这道题的意愿大概率并不是让你一直无脑的用洛必达，虽然洛必达法则很强大，这样的话就没区分度了。

Answer 2

如上图所示。

Answer 3

lim(x->0) [ (3+x)^(sinx) -3^(sinx) ]/x^2

=lim(x->0) 3^(sinx) .[ (1+x/3)^(sinx) -1 ]/x^2
=lim(x->0) [ (1+x/3)^(sinx) -1 ]/x^2
=lim(x->0) [ (1+x/3)^x -1 ]/x^2
=lim(x->0) { [(1+x/3)^(1/x)]^(x^2) -1 }/x^2
=lim(x->0) { e^[(1/3)x^2] -1 }/x^2
=lim(x->0) (1/3)x^2/x^2
=1/3