帮忙解释或证明||a|-|b||<=|a+-b|<=|a|+|b|

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刺任芹O
2022-11-16 · TA获得超过6.2万个赞
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||a|-|b||、|a±b|、|a|+|b|均为非负数,因此可以分别比较其平方的大小

平方分别为:

(||a|-|b||)^2=a^2-2|a||b|+b^2------------1

(|a±b|)^2=(a±b)^2=a^2±2ab+b^2-------------2

(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2---------------3

2-1得

2|a||b|±2ab=2|ab|±2ab≥0(一个数的绝对值肯定大于等于这个数本身)

所以2式≥2式

3-2得:2|a||b|±2ab与2-1一样,所以3式≥2式

所以3式≥2式≥2式

得到||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

扩展资料:

不等式的基本性质的表达方式有:

①对称性;

②传递性;

③加法单调性,即同向不等式可加性;

④乘法单调性;

⑤同向正值不等式可乘性;

⑥正值不等式可乘方;

⑦正值不等式可开方;

⑧倒数法则。

如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式。

另,不等式的特殊性质有以下三种:

①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;

②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

③不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向变。 总结:当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值。

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