Question

高等数学，对坐标的曲面积分，“当cosα<0时，二重积分前面取负号”，请问图二中平行于xoy面朝下？

请问图二中平行于xoy面并且朝下侧的Z=-R面，的方向余弦cosγ是大于零还是小于零？是因为其侧的方向朝下，与z轴正方向相反，所以二重积分前面会带一个负号吗？



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Answer 1

没错，就是这个缘故，所以带了负号。对于面积分的面元，不要忘记取其法向量，再进一步求解，而这个法向量则指向被积曲面外侧，所以z=R面为正而z=-R面为负——γ本来就是dxdy面元（即+z方向）与被积面法向之间的夹角。
同时，这种符号的事与xyz坐标系是右手系似乎也有点关系。右手系需要三个坐标轴之间满足顺次矢量叉乘关系，这就意味着在那两个面上dxdy和被积函数的乘积的符号不一样。
顺便说一句，应该是xOy，而不是xoy：大写O代表原点，而原点就是大O不是小o。