Question

证明当0＜X＜π／2时，sinX＋tanX＞2X.

Answer 1

证明过程如下：

引入函数f（x）＝sinx＋tanx－2x，则：

f′（x）＝cosx＋1/（cosx）^2－2

＝［（cosx）^3－2（cosx）^2＋cosx＋1－cosx］/（cosx）^2

＝［cosx（cosx－1）^2＋1－cosx］/（cosx）^2。

因为x是锐角，所以0＜cosx＜1，所以f′（x）＞0，所以，f（x）在（0，π/2）上是增函数，

又f（0）＝sin0＋tan0－2×0＝0，则f（x）在（0，π/2）上恒为正数，

所以，在（0，π/2）上，sinx＋tanx－2x＞0，则在（0，π/2）上，sinx＋tanx＞2x。

扩展资料：

不等式的证明，基本方法有

比较法：

（1）作差比较法

（2）作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法:把不等式想象成三角函数，同时注意范围限制，方便思考