Question

有没有勾股数的数学方法？

Answer 1

所扰指谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
　　即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈n
　　又由于，缓册配任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
　　关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
　　1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,
c=2*n^2+2*n+1。
　　实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
　　n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
　　n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
　　n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
　　...
...
　　这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
　　2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,
c=n^2+1
　　也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
　　n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
　　n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
　　n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
　　n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
　　...
...
　　这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所姿宽以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
　　所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n
(n>=2),
b=4*n^2-1,
c=4*n^2+1，例如：
　　n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
　　n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
　　n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
　　...
...