Question

（2003•金华）如图，已知边长为2的正三角形ABC沿着直线l滚动．

Answer 1

解题思路：（1）由图形可以看出，△ABC滚动的轨迹正好为两个半径为2的三分之一的圆周长；
（2）先求出正三角形的高，再利用三角函数求出tan∠CAC’与tan∠CAA′的值，然后通过等量代换求出∠CAC′+∠CAA′的度数．

（1）当△ABC滚动一周到△A1B1C1的位置，此时A点运动的路径为两个半径为2的三分之一的圆周长，
即A点的路程长为：2×
1
3×2×3.14×2=8.37758；
约为8.4．

（2）设△ABC滚动240°时，C点的位置为C’，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．
∵正△ABC的边长为2
∴正△ABC的高为
3
tan∠CAC′=

3
2+2+1=

3
5
tan∠CAA′=

3
4×2+1=

3
9
所以：由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），
得：tan（∠CAC′+∠CAA′）
=（tan∠CAC′+tan∠CAA′）÷（1-tan∠CAC′•tan∠CAA′）
=（

3
5+

3
9）÷（1-

3
5×

3
9）
=

3
3．
所以：∠CAC′+∠CAA′=30°．

点评：
本题考点： 弧长的计算；解直角三角形．

考点点评： 正确判断△ABC滚动的轨迹，利用转化思想和等量代换思想是解答此题的关键．