Question

函数f(x)的图像与函数g(x)=(1/2)的X次方的图像关于直线Y=X对称,则f(2x-x的平方)的单调减区间为

Answer 1

解：
由于f(x),g(x)图像关于y=x对称
则f(x),g(x)互为反函数
则：f(x)=g-1(x)=log(1/2)(x)
则：f(2x-x^2)=log(1/2)(2x-x^2)
则其定义域满足：
2x-x^2>0
则：x属于(0,2)
设u=2x-x^2
则：f(u)=log(1/2)(u)在定义域内单减
u=2x-x^2=-(x-1)^2+1在(0,1]上单增，在(1,2)上单减
由复合函数单调性得：
f(2x-x^2)单调减区间:(0,1]

Answer 2

f(x)和g(x)是反函数
y=g(x)=(1/2)^x
x=log(1/2)(y)
所以f(x0=log(1/2)(x)
0<1/2<1
所以是减函数

定义域是x>0
则f(2x-x²)中2x-x²>0
x(x-2)<0
0<x<2

f(x)递减，而f(2x-x²)递减
所以真数是增函数
2x-x²=-(x-1)²+1
x>1递增
所以减区间是(1,2)