Question

怎么用海涅定理证明狄利克雷函数的极限不存在？

Answer 1

狄利克雷函数D(x)=0（x为无理数时）D(x)=1（x为有理数时）
根据海涅定理，对于任意实数x0，lim(x->x0) D(x)这个极限存在的充要条件是，在x0的去心邻域内，任何以x0为极限的为极限的数列{xn}(xn不等于x0)，极限lim(n->∞)D(xn)=A存在。
不妨设x0为有理数。取an=x0-1/n，an->x0时，n->∞，此时an必为有理数，所以lim(n->∞)D(an)=1。再取bn=x0-π/n，bn->x0时，n->∞，此时bn必为无理数，所以lim(n->∞)D(bn)=0。两个数列极限不同，所以D(x)的极限不存在。
x0为无理数时同理易证。
以上就是用海涅定理证明狄利克雷函数极限不存在的简要过程，核心思想就是，任意x0，一定可以找到趋近于x0的有理数列和无理数列，两个数列的极限不同，函数极限则不存在。
若有帮助，请采纳。