Question

如图,正方形abcd中,m,n分别为ad,dc的中点,cm与BD交于点p.求证PA等于AB

Answer 1

证明：延长cm与ba的延长线相交于点g
因为abcd是正方形
所以角mdc=角bcn＝角bad=90度
ab=dc＝bc
ab平行dc
所以角mdc=角mag
角mcd=角mga
因为点m是ad的中点
所以dm=am＝1／2ad
所以三角形dcm和三角形agm全等(AAS)
所以dc=ag
所以ag=ab
所以pa是三角形gpb的中线
因为角mdc=角bcn＝90度
因为点n是dc的中点
所以dn＝cn＝1／2dc
所以dm＝cn
因为dc＝bc（已证）
所以三角形dcm和三角形cnb全等（SAS）
所以角amc＝角bnc
因为角anp+角bnc=180度
所以角amc＋角anp＝180度
因为角mdc＋角amp＋角mpn＋角anp＝360度
所以角mpn＝90度
因为角mpn＋J　mpb＝180度
所以角mpb＝90度
所以三角形gpb是直角三角形
所以ap是直角三角形gpb的中线
所以pa＝ab