Question

高二数学题。

证明:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc,abc为不全相等正数

Answer 1

证：
a,b,c>0
a+1>=2√a,b+1>=2√b
--->(a+1)(b+1)>=4√(ab)
--->ab+a+b+1>=4√(ab).
a+c>=2√(ac),b+c>=2√(bc)
--->(a+c)(b+c)>=4√(abc^2)
--->ab+ac+bc+c^2>=4c√(ab)
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16c√(a^2*b^2)=16abc.
因为a,b,c不全相等，所以过程中至少有一个"="不成立，所以最后结果中的“=”不成立。
所以（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>16abc.

Answer 2

ab+a+b+1>4√ab
ab+ac+bc+c2>4(√ab)c
:所以(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc