Question

初三数学题 在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上，∠ABE=∠DBM。∠AB

在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上，∠ABE=∠DBM。∠ABC=60°。延长BM到P,使BM=MP,连CP，若AB=7,AE=2根号7，求tan∠ACP的值。
点M在线段DF上，∠BAE=∠BDF

Answer 1

解：
（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB= √2BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴AE/DM=AB/DB=√2 ，
∴AE= √2MD．

（2）∵cos60°= 1/2，
∴BD=AB•cos∠ABC，
即AB=2BD．
∴AE=2MD；

（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC= AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴BE/BM=AB/DB=2 ，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2√7 ，AB=7，
∴BE=√(AB^2-AE^2)=√21 ．
∴tan∠EAB=√3/2 ．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM‖PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB= √3/2．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=7√3/2 ，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=7√3/4 ，
∴NA=AD-ND= 7√3/4．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH= AN/2=7√3/8 ，AH=AN•cos∠NAH=21/8 ，
∴CH=AC-AH=35/8 ，
∴tan∠ACP=NH/CH=√3/5 ．

Answer 2

解：
（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC即AB= √2BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴AE/DM=AB/DB=√2 ，
∴AE= √2MD．

（2）∵cos60°= 1/2，
∴BD=AB•cos∠ABC，
即AB=2BD．
∴AE=2MD；

（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC= AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴BE/BM=AB/DB=2 ，
∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，AE=2√7 ，AB=7，
∴BE=√(AB^2-AE^2)=√21 ．
∴tan∠EAB=√3/2 ．
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM‖PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB= √3/2．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=7√3/2 ，
在Rt△NDC中，ND=DC•tan∠NCD=7√3/4 ，
∴NA=AD-ND= 7√3/4．
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH= AN/2=7√3/8 ，AH=AN•cos∠NAH=21/8 ，
∴CH=AC-AH=35/8 ，
∴tan∠ACP=NH/CH=√3/5 ．
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