Question

已知函数f(x)=alnx+bx的图像在点(1,-3)处的切线方程为y=-2x-1。 （ 2010烟台模拟）

1.若对任意x∈(1/3,+∞)有f(x)<=m恒成立，求实数m的取值范围。
2.函数y=f(x)+x^2+2在区间[k,+∞]内有零点，求实数k 的最大值。

Answer 1

(1)由原始方程alnx+bx==-2x-1和切线方程a/x+b=-2,代入x=1
可求出，a=1,b=-3,用切线方程可得在x∈(1/3,+∞)范围内，函数递减，
所以f(1/3)最大，所以f(1/3)<=m,便可求出m的取值范围。
（2）y=0时，可得lnx=-x^2+3x-2,右边方程对称轴x=2/3,y=1/4.
ln3/2与1/4比大小（设ln2/3=x.则用x与1/4比大小，因为e^x为递增函数，所以可用e^x与e^(1/4)比大小，即比较(2/3)^4与e的大小，可求得ln3/2>1/4)
所以只有(1,0)一个交点，所以的k最大值为1

Answer 2

大学毕业5年了，小兄弟，你的问题，我确实顶不动，好汉不提当年勇，函数是高中数学最重要的一部分了，高考最后一道大题，你啊，还是自己好好研究下，彻底的搞清楚。