Question

一道高中函数题，高手进

已知函数f(x)=lg(a^x-kb^x) (k>0,a>1>b>0)的定义域恰为（0，+00），问是否存在这样的a,b使得f(x)恰在（1，+00）上取正值，且f(3)=lg4?若存在，求出a,b的值，不存在请说明理由
那个第二个“恰”字说明f(x)>0等价转化为x>1
我需要完整的过程，拜托了

Answer 1

存在

因为其定义域恰为（0，+∞）
即当x>0时，
a^x-kb^x>0恰好成立
所以当x=0时，a^x-kb^x=0 解得k=1 (这是第一个恰的含义)

f(x)=lg(a^x-b^x)
f(x)恰在(1,+∞)内取正值
a^1-b^1=1 (这是第二个恰的含义)
f(3)=lg4
lg(a^3-b^3)=lg4
a^3-b^3=4
(a-b)(a^2+ab+b^2)=4
a^2+ab+b^2=4
(a-b)^2+3ab=4
1+3ab=4
ab=1
a(a-1)=1
a^2-a-1=0
a=(1+√5)/2
b=(-1+√5)/2

Answer 2

令a^x=kb^x，画图，有个交点，交点要在正半轴，因为b>0，有两种情况，分开解
又有f(x)在1到正无穷大上恰为正，因此a^1+kb^1=10
f(3)=lg4，即lg(a^3+kb^3)=lg4,即a^3+kb^3=4
然后联立求解
以上