Question

什么是牛顿迭代法？

Answer 1

1. 在满足以下条件时，牛顿迭代法是二阶收敛的：

   ①f(a)*f(b)<0;

   ②f'(x)≠0,x∈[a,b];

   ③f''(x)在[a,b]上不变号；

   ④f-f(a)/f(b)≤b,b-f(b)/f'(b)≥a.

2. 而考虑牛顿迭代法的局部收敛性，牛顿可以具有二阶以上的阶数

   定理一：设函数f(x)在邻域U(x*)内存在至少二阶连续导数,x*是方程f(x)的单根，则当初始值x0充分接近方程f(x)的根x*时，牛顿迭代法至少局部二阶收敛；

   定理二：设x*是方程f(x)=0的r重根，这里r≥2，且函数f(x)在邻域U（x*）内存在至少二阶连续导数，则牛顿迭代法局部线性收敛。

3. 求方程的复根时，牛顿迭代发具有局部线性收敛速度，因此可以改进牛顿迭代发，使其在求复根时具有更高阶的收敛速度。