Question

幂函数(五种形式）的定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点

直接得答案、无须证明结果。如果需要表格形式，表格可参考人教版高中数学必修一A版第78面探究

Answer 1

y=x R R 奇 (-∞，+∞)增 （1，1）

y=x^2 R [0，+∞） 偶 (-∞,0）减,(0,+∞)增 （1，1）

y=x^3 R R 奇 (-∞，+∞)增 (1,1)

y=x^0.5 [0,+∞)增 [0,+∞) 非奇非偶 [0,+∞)增 （1,1）

y=x^(-1) {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (-∞,0）减,(0,+∞)减 (1,1)

Answer 2

幂函数
y=x^μ，μ是常数
1. 当u为正整数时，函数的定义域为区间 ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称；
2. 当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, + ），n为奇数时函数的定义域为（- + ）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n图形于x轴相切,如果m<n,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称.
4. 当u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界限。

以下仅供参考：
(2) 指数函数
y=a^x ( a是常数且a>0,a≠0 )， x∈（-∞，∞）
1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.
2. 不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方.
3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

(3) 对数函数
y=loga X( a是常数且a>0,a≠0 )， x∈（-∞，∞）
1. 他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)
2. 当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, + ),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到.

(4) 三角函数
正弦 y=sinx ,x∈（-∞，∞） , y∈[-1,1]
余弦 y=cosx，x∈（-∞，∞） , y∈[-1,1]
正切 y=tanx，x≠kπ+π/2,k∈Z，y∈（-∞，∞）
余切 y=cotx，x≠kπ,k∈Z，y∈（-∞，∞）

(5) 反三角函数
反正弦 y=arcsinx，x∈[-1,1],y∈[-π/2,π/2]
反余弦 y=arccosx，x∈[-1,1],y∈[0,π]
反正切 y=arctanx,x∈（-∞，∞），y∈（-π/2,π/2）
反余切 y=arccotx，x∈（-∞，∞），y∈（0,π）