Question

设f(x) ，g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时有

A.f(1/3)<f(3/2)<f(2/3)
B.f(2/3)<f(3/2)<f(1/3)
C.f(2/3)<f(1/3)<f(3/2)
D.f(3/2)<f(2/3)<f(1/3)
是的，是问题问错了
问题是：设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x>1时，f(x)=lnx-x,则有

Answer 1

函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则：
f(1-x)=f(x+1)，所以
f(1/3)=f(5/3)，
f(2/3)=f(4/3)，
又当x>1时，f(x)=lnx-x，则：
f'(x)=1/x-1，
当x>1时， f'(x)<0，
所以函数f(x)在（1，+无穷）上递减，
因为 4/3<3/2<5/3，所以f(5/3)<f(3/2)<f(4/3)，
即 f(1/3)<f(3/2)<f(2/3)。

Answer 2

选项是不是打错了。

A,f(x)g(x)>f(b)g(b)
B,f(x)g(a)>f(a)g(x)
C,f(x)g(b)>f(b)g(x)
D,f(x)g(x)>f(a)g(a)

因为f `(x)g(x)-f (x)g `(x)<0
所以[f `(x)g(x)-f (x)g `(x)]/[g(x)]^2<0
所以[f(x)/g(x)]'<0
所以f(x)/g(x)在R上是减函数.
所以当a<x<b时,f(a)/g(a)>f(x)/g(x)>f(b)/g(b)
又因为f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的函数
所以f(x)g(b)>f(b)g(x)
选(C)