Question

已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1,0）与y轴的正半轴交于点C如下图所示

已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1,0）与y轴的正半轴交于点C如下图所示
1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标
2)当点C在以AB为直径的⊙P上时，
求:抛物线的解析式?
3)坐标平面内是否存在点M，使以
点M和(2)中抛物线上的三点ABC为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

1)，抛物线的对称轴：x=1，
与x轴的另一个交点B的坐标为；(3，0)。
2)， 以AB为直径的⊙P的圆心为：(1，0)，半径为：2，
所以圆的方程为：(x-1)^2+y^2=4，
故C点坐标为：(0，√3)，
代入抛物线方程，得：b=√3，
将AC点坐标(-1，0)， 代入抛物线方程，得：a=b/3=√3/3，
所以抛物线的解析式为：y=-√3/3*x^2+2√3/3*x+√3。
3)，直线AC，BC，AB的方程分别为：
y=√3x+√3， y=-√3/3*x+√3，y=0，
四边形MABC是平行四边形，则：
（1） MA//BC，MB//AC，
所以直线MA，MB的方程分别为：y=-√3/3*(x+1)， y=√3*(x-3)，
联立两方程，解得：x=2，y=-√3。
所以点M的坐标为：(2，-√3)；
（2） MC//AB，MB//AC，
所以直线MC，MB的方程分别为：y=√3， y=√3*(x-3)，
联立两方程，解得：x=4，y=√3。
所以点M的坐标为：(4，√3)；
（3） MC//AB，MA//BC，
所以直线MC，MA的方程分别为：y=√3， y=-√3/3*(x+1)，
联立两方程，解得：x=-4，y=√3。
所以点M的坐标为：(-4，√3)；
综上可知： 点M的坐标为：(2，-√3)，(4，√3)，或：(-4，√3)。