Question

数形结合思想浅析 数形结合思想

Answer 1

　　数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想。所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言、数量关系与具体直观的图像结合起来，利用抽象思维与形象思维的有机结合，借助形的具体明确来反映数量之间的关系，借助数来具体描述形的本质内涵。它的实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。用这种思想来解决数学问题往往可以使复杂的问题简单化、抽象问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度探索问题，对思维能力的提升大有益处。
　　我国著名的数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为数形结合主要指的是数与形之间一一对应的关系。
　　实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
　　一 数形结合思想方法的优点
　　数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，运用数形结合的思想，可以解决以下问题：
　　1．解决集合问题
　　在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
　　2．解决函数问题
　　借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
　　3．解决方程与不等式的问题
　　处理方程问题时，把方程的根的问题看做是两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
　　4．解决三角函数问题
　　有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
　　5．解决线性规划问题
　　线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好体现了数形结合思想的应用。
　　6．解决数列问题
　　数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
　　7．解决解析几何问题
　　解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
　　8．解决立体几何问题
　　立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。
　　二 用数形结合时应注意的几个问题
　　“数形结合”直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获得出奇制胜的解法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它只是一个部分，而不是全部，甚至有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地根据图形获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下几个主要事项：
　　1．精确作图，避免潦草作图而导致的错误
　　在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言道“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分难知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。
　　2．注意转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小
　　定义域是一个变量的最大范围，如果不注意转化过程是否是等价的过程，那么变量的定义域就有可能扩大或缩小了，这样，画出来的图像就会多出一部分或少了一角，而根据这样有误差的图像，做出来的结果是不准确的，那就是白做了这道题，所以注意转化过程要等价是关键的。不论是否注意到转化过程要等价，我们最好能做好一道题，就再用另一种方法验证一下所得到的答案是否准确，这样才会有信心地保证做完一题就一定正确。
　　3．注意仔细观察图像，避免漏掉了一些可能的情形
　　有些问题可从图像直接解得，但要经过认真地分析，而有些问题很难由图像直观而得，值得注意。我们要仔细地观察图像，看看这些图像的位置关系是否都是合理的，是否漏掉了一些情况？我们只有做到不重不漏，才能保证所得到的答案是准确的。
　　4．用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环
　　“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎样的题目，“形”只是我们思考问题的一种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或是猜测得到的，这样才有说服力，才是有效的。
　　数形结合的确是一个非常好、也非常实用且重要的思想方法，应用性强。但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，要辅有严谨的演绎。
　　〔责任编辑：李继孔〕