Question

3.求曲线 y=x^3-5x^2+3x+1 的极值点

Answer 1

曲线 y=x³-5x²+3x+1 的极值点的计算，可以分下列几个步骤进行：

1、求原函数的一阶导数，即有

y'=(x³-5x²+3x+1)'=3x²-10x+3

2、令y'=0，求函数的极值点，有

3x²-10x+3=0

因式分解上式，得

(3x-1)(x-3)=0

令(3x-1)=0，有 x=1/3

令(x-3)=0，有 x=3

3、计算对应于x的y值

当 x=1/3时，y=(1/3)³-5×(1/3)²+3×(1/3)+1=40/27=1.48148

当 x=3时，y=(3)³-5×(3)²+3×(3)+1=-8

4、求原函数的二阶导数，并判断所求的极值点是最大值还是最小值

y"=(3x²-10x+3)'=6x-10

当 x=1/3时，y"(1/3)=6×(1/3)-10=-8<0

当 x=3时，y"(3)=6×(3)-10=8>0

根据导数的极值第二充分条件，可知

当 x=1/3时，函数有最小值，其值为1.48148

当 x=3时，函数有最大值，其值为-8

函数图像：