Question

已知点p(4,4),圆 C(x-m)^2+y^2=5(m＜3)与椭圆E：F1,F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF1与圆C相切，1）求m的

2,设D为直线PF1与圆的切点，在椭圆E上是否存在一点q使得三角形PDQ为等腰三角形？若存在，请指出有几个点，并说明理由！

Answer 1

1.(1)由于：A(3,1)在圆c:(x-m)^2+y^2=5

和椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1上

则有：(3-m)^2+1^2=5 -----(1)

9/a^2+1/b^2=1 -----(2)

解(1)可得：m=5或1

由于：m<3；则：m=1

则：圆c:(x-1)^2+y^2=5

设F1(-c,0)由于：P(4,4)

则用点斜式表示直线PF1得：

y-0=[4/(4+c)](x+c)

化简为一般式：4x-(c+4)y+4c=0

由于：直线PF1与圆C相切

则有：点C(1,0)到直线PF1的距离等于圆C半径√5

即：√5=|4+4c|/√[4^2+(c+4)^2]

由于：c>0；则由上式得：c=4

则有：a^2-b^2=c^2=16 ------(3)

联立(1)(3)可得：a^2=18,b^2=2

则：椭圆E的方程:x^2/18+y^2/2=1

2.直线PF1方程4x-8y+16=0即x-2y+4=0

由x-2y+4=0和(x-1)²+y²=5得切点(0,2)

又因为P(4,4) 所以线段PD中点为(2,3)

椭圆右焦点F2(4,0) 所以Kmf2=3/(2-4)=-3/2

因为Kpd=1/2 所以PD的垂直平分线斜率=-2

-2<-3/2 所以线段PD的垂直平分线与椭圆有2个交点

所以在椭圆E上存在2个点q 使得三角形PDQ是以PD为底的等腰三角形