Question

函数f(x)=lnx-[a(x-1)]/x(x>0,a∈R)

1.求f(x)的单调区间
2.求证：当1<x<2时，不等式1/lnx-1/(x-1)<1/2恒成立
第一问会了 能在具体一点吗？

Answer 1

你好！
1.a=<0时，单调增加。【其实你仿任意一道类似的求单调区间的题即可，网上有许多】
2.就是要证1/lnx<1/2+1/(x-1)=(x+1)/2(x-1), 即lnx>2(x-1)/(x+1)

令g(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)=lnx-2+4/(x+1)

g'(x)=1/x-4/(x+1)²=[(x+1)²-4x]/x(x+1)²=(x-1)²/4(x+1)²>0

∴g(x)在(1,2)上单调增

g(1)=ln1-0=0

∴g(x)>0, 即lnx>2(x-1)/(x+1)

∴1/lnx-1/x-1<1/2
祝新春快乐！

Answer 2

1. （1）a=<0时，单调增加；（2）a>0时，0<X<a时，单调减少，x>a时，单调增加。
2.取一个适当的A值，再求

Answer 3

1.分类讨论2.移项求导

Answer 4

在1<x<2时，lnx<0，把那个恒等式调换一下，再求导，易证其单调性，最后用最值比一下