Question

已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1

abc都是正数

Answer 1

这个要用到调和均值不等式
(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
以及平方平均数大于等于算术平均数
√((a1²+a2²+...+an²)/n)≥(a1+a2+...+an)/n

这里n=3，有
(a1+a2+a3)/3≥3/(1/a1+1/a2+1/a3) ……（1）
√((a1²+a2²+a3²)/3)≥(a1+a2+a3)/3 ……（2）

用a²+a+1,b²+b+1,c²+c+1分别代替式（1）中的a1,a2,a3得到
(a²+b²+c²+a+b+c+3)/3≥3/(1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1))……（3）
用a,b,c分别代替式（1）中的a1,a2,a3得到
√((a²+b²+c²)/3)/n≥(a+b+c)/3 ……（4）

化简式（3）得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/(a²+b²+c²+a+b+c+3)……（5）
式（4）代入a²+b²+c²=3得到
a+b+c≤3……（6）

式（5）右边的分母代入a²+b²+c²=3，结合式（6）a+b+c≤3，得到
a²+b²+c²+a+b+c+3=6+a+b+c≤9
代回式（5）得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/9=1

综上得证。

我写得够详细了吧，如果还有什么疑惑随时欢迎HI我

Answer 2

柯西 原式左>=9/(6+a+b+c)