Question

已知a, b, c均不等于0，求 (a+b+c)/(abc)的最值？

Answer 1

由于a、b、c均不等于0，则可以将式子化为：
(a+b+c)/(abc) = 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca)
然后根据调和平均数与几何平均数的关系，得到：
(a+b+c)/(abc) >= 3/(√(abc))^2 = 3/(abc)
即当abc取最小值时，(a+b+c)/(abc)取最大值。而根据三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数的性质，可知abc的最小值为 (abc)^(1/3)，因此：
(a+b+c)/(abc) >= 3/(abc) >= 3/( (abc)^(1/3) )^3
所以，当且仅当a=b=c时，(a+b+c)/(abc)达到最大值3*√3，即：
(a+b+c)/(abc)max = 3*√3
综上所述，(a+b+c)/(abc)的最大值为3*√3，当且仅当a=b=c时取得最大值。